程序員面試題精選100題(16)-O(logn)求Fibonacci數列[算法]

時間:2019-09-22 編輯:范文亭
題目:定義Fibonacci數列如下:        /  0                      n=0
f(n)=      1                      n=1
        \  f(n-1)+f(n-2)          n=2
輸入n,用最快的方法求該數列的第n項。
分析:在很多C語言教科書中講到遞歸函數的時候,都會用Fibonacci作為例子。因此很多程序員對這道題的遞歸解法非常熟悉,看到題目就能寫出如下的遞歸求解的代碼。
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// Calculate the nth item of Fibonacci Series recursively
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long long Fibonacci_Solution1(unsigned int n)
{
      int result[2] = {0, 1};
      if(n < 2)
            return result[n];

      return Fibonacci_Solution1(n - 1) + Fibonacci_Solution1(n - 2);
}
但是,教科書上反復用這個題目來講解遞歸函數,并不能說明遞歸解法最適合這道題目。我們以求解f(10)作為例子來分析遞歸求解的過程。要求得f(10),需要求得f(9)和f(8)。同樣,要求得f(9),要先求得f(8)和f(7)……我們用樹形結構來表示這種依賴關系
                  f(10)
               /        \
            f(9)         f(8)
          /     \       /    \
       f(8)     f(7)  f(7)   f(6)
      /   \     /   \ 
   f(7)  f(6)  f(6) f(5)
我們不難發現在這棵樹中有很多結點會重復的,而且重復的結點數會隨著n的增大而急劇增加。這意味這計算量會隨著n的增大而急劇增大。事實上,用遞歸方法計算的時間復雜度是以n的指數的方式遞增的。大家可以求Fibonacci的第100項試試,感受一下這樣遞歸會慢到什么程度。在我的機器上,連續運行了一個多小時也沒有出來結果。
其實改進的方法并不復雜。上述方法之所以慢是因為重復的計算太多,只要避免重復計算就行了。比如我們可以把已經得到的數列中間項保存起來,如果下次需要計算的時候我們先查找一下,如果前面已經計算過了就不用再次計算了。
更簡單的辦法是從下往上計算,首先根據f(0)和f(1)算出f(2),在根據f(1)和f(2)算出f(3)……依此類推就可以算出第n項了。很容易理解,這種思路的時間復雜度是O(n)。
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// Calculate the nth item of Fibonacci Series iteratively
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long long Fibonacci_Solution2(unsigned n)
{
      int result[2] = {0, 1};
      if(n < 2)
            return result[n];

      long long  fibNMinusOne = 1;
      long long  fibNMinusTwo = 0;
      long long  fibN = 0;
      for(unsigned int i = 2; i <= n; ++ i)
      {
            fibN = fibNMinusOne + fibNMinusTwo;

            fibNMinusTwo = fibNMinusOne;
            fibNMinusOne = fibN;
      }

       return fibN;
}
這還不是最快的方法。下面介紹一種時間復雜度是O(logn)的方法。在介紹這種方法之前,先介紹一個數學公式:
{f(n), f(n-1), f(n-1), f(n-2)} ={1, 1, 1,0}n-1
(注:{f(n+1), f(n), f(n), f(n-1)}表示一個矩陣。在矩陣中第一行第一列是f(n+1),第一行第二列是f(n),第二行第一列是f(n),第二行第二列是f(n-1)。)
有了這個公式,要求得f(n),我們只需要求得矩陣{1, 1, 1,0}的n-1次方,因為矩陣{1, 1, 1,0}的n-1次方的結果的第一行第一列就是f(n)。這個數學公式用數學歸納法不難證明。感興趣的朋友不妨自己證明一下。
現在的問題轉換為求矩陣{1, 1, 1, 0}的乘方。如果簡單第從0開始循環,n次方將需要n次運算,并不比前面的方法要快。但我們可以考慮乘方的如下性質:
        /  an/2*an/2                      n為偶數時
an=
        \  a(n-1)/2*a(n-1)/2            n為奇數時
要求得n次方,我們先求得n/2次方,再把n/2的結果平方一下。如果把求n次方的問題看成一個大問題,把求n/2看成一個較小的問題。這種把大問題分解成一個或多個小問題的思路我們稱之為分治法。這樣求n次方就只需要logn次運算了。
實現這種方式時,首先需要定義一個2×2的矩陣,并且定義好矩陣的乘法以及乘方運算。當這些運算定義好了之后,剩下的事情就變得非常簡單。完整的實現代碼如下所示。
#include <cassert>

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// A 2 by 2 matrix
///////////////////////////////////////////////////////////////////////
struct Matrix2By2
{
      Matrix2By2
      (
            long long m00 = 0, 
            long long m01 = 0, 
            long long m10 = 0, 
            long long m11 = 0
      )
      :m_00(m00), m_01(m01), m_10(m10), m_11(m11) 
      {
      }

      long long m_00;
      long long m_01;
      long long m_10;
      long long m_11;
};

///////////////////////////////////////////////////////////////////////
// Multiply two matrices
// Input: matrix1 - the first matrix
//        matrix2 - the second matrix
//Output: the production of two matrices
///////////////////////////////////////////////////////////////////////
Matrix2By2 MatrixMultiply
(
      const Matrix2By2& matrix1, 
      const Matrix2By2& matrix2
)
{
      return Matrix2By2(
            matrix1.m_00 * matrix2.m_00 + matrix1.m_01 * matrix2.m_10,
            matrix1.m_00 * matrix2.m_01 + matrix1.m_01 * matrix2.m_11,
            matrix1.m_10 * matrix2.m_00 + matrix1.m_11 * matrix2.m_10,
            matrix1.m_10 * matrix2.m_01 + matrix1.m_11 * matrix2.m_11);
}

///////////////////////////////////////////////////////////////////////
// The nth power of matrix
// 1  1
// 1  0
///////////////////////////////////////////////////////////////////////
Matrix2By2 MatrixPower(unsigned int n)
{
      assert(n > 0);

      Matrix2By2 matrix;
      if(n == 1)
      {
            matrix = Matrix2By2(1, 1, 1, 0);
      }
      else if(n % 2 == 0)
      {
            matrix = MatrixPower(n / 2);
            matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
      }
      else if(n % 2 == 1)
      {
            matrix = MatrixPower((n - 1) / 2);
            matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
            matrix = MatrixMultiply(matrix, Matrix2By2(1, 1, 1, 0));
      }

      return matrix;
}

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// Calculate the nth item of Fibonacci Series using devide and conquer
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long long Fibonacci_Solution3(unsigned int n)
{
      int result[2] = {0, 1};
      if(n < 2)
            return result[n];

      Matrix2By2 PowerNMinus2 = MatrixPower(n - 1);
      return PowerNMinus2.m_00;
}
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